إذا اشترك 8 اشخاص في مسابقة للجري منهم ثلاثة اصدقاء، فما احتمال أن يفوز الاصديقاء الثلاثة بالمراكز الثلاثة الاولى

إذا اشترك 8 اشخاص في مسابقة للجري منهم ثلاثة اصدقاء، فما احتمال أن يفوز الاصديقاء الثلاثة بالمراكز الثلاثة الاولى؟ 1/56. هذا السؤال هو مساله نموذجيه في حساب الاحتمالات، ومن الاسئله التي تكرر كثيرا في مناهج الرياضيات والاحصاء. اولا، لابد ان نستذكر ان قانون الاحتمال الكلاسيكي هو عدد النواتج المواتيه مقسوما على عدد النواتج الكليه الممكنه للتجربه. ثانيا، عدد النواتج الممكنه لترتيب الثمانيه اشخاص في المراكز الثلاثه الاولى هو عدد التباديل ( Permutations ) لاختيار 3 اشخاص من 8 مع مراعاه الترتيب، لان المركز الاول يختلف عن الثاني والثالث. ثالثا، صيغه الحساب هي: العدد الكلي = 8 × 7 × 6 = 336. ناتي بالرقم 8 لاننا نختار المركز الاول من 8 اشخاص، ثم 7 لان المركز الثاني لا يمكن ان يشغله نفس الشخص الذي حصل على الاول، ثم 6 لان المركز الثالث لا يمكن ان يشغله الفائزان السابقان. رابعا، الان نحسب عدد النواتج المواتيه، وهي ان يكون المراكز الثلاثه الاولى محصورة في الثلاثه اصدقاء فقط دون غيرهم. عدد التباديل لترتيب هؤلاء الاصدقاء الثلاثه داخل المراكز الثلاثه = 3 × 2 × 1 = 6. خامسا، الان نطبق قانون الاحتمال = عدد النواتج المواتيه / عدد النواتج الكليه = 6 / 336. سادسا، نختصر الكسر بقسمه البسط والمقام على اكبر قاسم مشترك وهو 6، فنحصل على 1 / 56. سابعا، النتيجه النهائيه هي احتمال فوز هؤلاء الاصدقاء الثلاثه بالمراكز الثلاثه الاولى هو 1 من 56، وهو احتمال صغير جدا يصل في النسبه المئويه حوالي 1.79 بالمئه. ثامنا، يمكن التفكير في المساله بطريقه اخرى: عدد الطرق لاختيار الثلاثه الفائزين من بين 8 هو 8×7×6=336، اما عدد الطرق التي يكون فيها الفائزين هم الثلاثه اصدقاء بترتيب معين هو 3! = 6، فالاحتمال = 6/336 = 1/56. تاسعا، ننبه الطلبه ان هذه المساله تعتمد على مبدا العد والتباديل، ويجب الانتباه إلى ان الترتيب مهم هنا.

لو كان السؤال يقول “فوز الثلاثه اصدقاء بالمراكز الثلاثه الاولى دون ترتيب” لكان الحل مختلفا (يستخدم التوافيق). عاشرا، اذا رغبت في التعبير عن النتيجه كنسبه مئويه، اضرب 1/56 في 100 لتحصل على 1.79 بالمئه تقريبا، وهي فرصه ضئيله جدا. الاجابه النموذجيه هي 1/56، وهي موجوده في حلول موقع بيت العلم والمنصات التعلميه.